Ειδικές Συναρτήσεις

Οι γραμμικές και ομογενείς διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές μπορούν να επιλυθούν με αλγεβρικές μεθόδους και οι λύσεις τους είναι στοιχειώδεις συναρτήσεις, γνωστές από τον ολοκληρωτικό και διαφορικό λογισμό. Το πρόβλημα επίλυσης των διαφορικών εξισώσεων με μεταβλητούς συντελεστές εμφανίζεται πιο πολύπλοκο και οι λύσεις τους είναι, τις περισσότερες φορές, μη στοιχειώδης συναρτήσεις. Επειδή τέτοιες εξισώσεις εμφανίζονται πολύ συχνά κατά την περιγραφή διαφόρων φυσικών προβλημάτων, οι λύσεις τους παίζουν σημαντικό ρόλο στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Στο πρώτο κεφάλαιο σχολιάζονται οι ορθογώνιες συναρτήσεις και η μέθοδος των δυναμοσειρών. Στο δεύτερο κεφάλαιο σχολιάζεται η κλάση των συναρτήσεων που περιλαμβάνει τις Γ-, Β-, ψ-συναρτήσεις, τη συνάρτηση σφάλματος, τα ολοκληρώματα ημίτονου και συνημίτονου και τα ολοκληρώματα Fresnel. Κάποιες από τις συναρτήσεις αυτές μπορούν να αναπτυχθούν σε ασυμπτωτικές σειρές. Οι σειρές αυτές μπορεί να μην είναι συγκλίνουσες, αλλά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό αριθμητικών τιμών των συναρτήσεων αυτών για μεγάλες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Στο τρίτο κεφάλαιο σχολιάζονται οι λύσεις της εξίσωσης Bessel (συναρτήσεις Bessel). Η εξίσωση αυτή εμφανίζεται στη μελέτη προβλημάτων συνοριακών τιμών της θεωρίας δυναμικού για κυλινδρικούς τόπους. Οι συναρτήσεις Bessel είναι από τις πιο σπουδαίες ειδικές συναρτήσεις και βρίσκουν εφαρμογή από τη θεωρία αριθμών μέχρι τα προβλήματα του μηχανικού της πράξης. Στο τέταρτο κεφάλαιο σχολιάζεται η κλάση των συναρτήσεων που περιλαμβάνει τα πολυώνυμα: Legendre, Chebyshev, Jacobi, Laguerre και Hermite. Οι συναρτήσεις αυτές έχουν σπουδαίες ιδιότητες και αποτελούν σημαντικό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής, της θεωρίας προσεγγίσεων κτλ. Στο πέμπτο κεφάλαιο σχολιάζονται οι συναρτήσεις που είναι γνωστές με τον όρο «σφαιρικές αρμονικές». Οι συναρτήσεις αυτές είναι λύσεις διαφορικής εξίσωσης, που εμφανίζονται στη μαθηματική φυσική, όταν χρησιμοποιούμε ορθογώνια καμπυλόγραμμα συστήματα συντεταγμένων για την επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών της θεωρίας δυναμικού για διάφορους τόπους (σφαίρα, torus,…). Ιδιαίτερα, σχολιάζονται: οι προσαρτημένες συναρτήσεις Legendre, που βρίσκουν εφαρμογή στην ανάπτυξη συναρτήσεων που ορίζονται στην επιφάνεια σφαίρας και οι υπεργεωμετρικές συναρτήσεις των οποίων ειδικές περιπτώσεις είναι αρκετές από τις γνωστές συναρτήσεις.