Μαθηματικές Μέθοδοι στα Οικονομικά, τόμος 2

Ο τόμος αυτός καλύπτει θέματα στατικής βελτιστοποίησης, ανάλυσης δυναμικών συστημάτων και δυναμικής βελτιστοποίησης. Ειδικότερα, στα κεφάλαια 1 έως 3 παρουσιάζονται θέματα στατικής βελτιστοποίησης με περιορισμούς. Στα κεφάλαια αυτά περιλαμβάνεται ο κλασσικός προγραμματισμός, στον οποίο οι περιορισμοί έχουν μορφή ισότητας και ο μη-γραμμικός προγραμματισμός, στον οποίο οι περιορισμοί εμφανίζονται με την μορφή ανισότητας. Παρουσιάζονται οι μέθοδος των πολλαπλασιαστών Lagrange, θεωρήματα περιβάλλουσας και συγκριτική στατική καθώς και οι συνθήκες Kuhn-Tucker. Ο γραμμικός προγραμματισμός παρουσιάζεσαι ως ειδική περίπτωση του γενικότερου προβλήματος μη-γραμμικού προγραμματισμού. Οι οικονομικές εφαρμογές του μέρους αυτού περιλαμβάνουν εκτεταμένη παρουσίαση της θεωρίας του καταναλωτή και της επιχείρησης. Τα κεφάλαια 4 έως 6 περιλαμβάνουν δυναμική ανάλυση σε συνεχή και διακριτό χρόνο. Στο κεφαλαίο 4 παρουσιάζονται οι διαφορικές εξισώσεις, μέθοδοί επίλυσης τους και μέθοδοι ανάλυσης ευστάθειας. Οι οικονομικές εφαρμογές περιλαμβάνουν την ανάλυση ευστάθειας της ισορροπίας μεταξύ προσφοράς και ζήτησης και το νεοκλασικό υπόδειγμα Solow για την οικονομική μεγέθυνση. Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται μέθοδοι επίλυσης και ανάλυση ευστάθειας για γραμμικά και μη-γραμμικά δυναμικά συστήματα. Οι οικονομικές εφαρμογές περιλαμβάνουν, μεταξύ άλλων, ανάλυση ευστάθειας της ανταγωνιστικής ισορροπίας και της ισορροπίας κατά Cournot καθώς και στοιχεία εξελικτικής δυναμικής. Το κεφάλαιο 6 περιλαμβάνει μεθόδους επίλυσης και ανάλυση ευστάθειας εξισώσεων διαφορών και συστημάτων εξισώσεων διαφορών. Οι οικονομικές περιλαμβάνουν το κλασσικό θεώρημα του Ιστού της Αράχνης καθώς και μια εισαγωγή στον δυναμικό προγραμματισμό και τη θεωρία της βέλτιστης οικονομικής μεγέθυνσης σε διακριτό χρόνο. Το κεφάλαιο 7 αναφέρεται στη δυναμική βελτιστοποίηση σε συνεχή χρόνο. Γίνεται αναλυτική παρουσίαση την επίλυσης του προβλήματος βελτίστου ελέγχου (optimal control) σε άπειρο και πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα μέσω της αρχής του μεγίστου (maximum principle). Εξετάζονται επίσης η μακροχρόνια ευστάθεια των λύσεων, τα προβλήματα βελτίστου ελέγχου με περιορισμούς στις μεταβλητές κατάστασης και ελέγχου, καθώς και τα προβλήματα με διαδρομές τάχιστης προσέγγισης. Τέλος, παρουσιάζεται η λύση του προβλήματος βελτίστου ελέγχου μέσω δυναμικού προγραμματισμού. Η οικονομική εφαρμογή περιλαμβάνει την παρουσίαση του υποδείγματος της βέλτιστης οικονομικής μεγέθυνσης.

Η διάρθρωση των τμημάτων κάθε κεφαλαίου είναι τέτοια ώστε, τόσο οι μαθηματικές μέθοδοι όσο και οι οικονομικές εφαρμογές να παρουσιάζουν, εν γένει, αυξανόμενη σχετική δυσκολία. Έτσι, σε κάθε κεφάλαιο, τα πιο προχωρημένα θέματα εντοπίζονται κυρίως στο τέλος των μαθηματικών μεθόδων ή των οικονομικών εφαρμογών. Κάθε κεφάλαιο περιλαμβάνει εκτεταμένη σειρά ασκήσεων.

Η ύλη που καλύπτεται στον τόμο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για διδασκαλία εξαμηνιαίων μαθημάτων που θα καλύπτουν μεθόδους στατικής βελτιστοποίησης και δυναμικής ανάλυσης με έμφαση στις διαφορικές εξισώσεις και στις εξισώσεις διαφορών. Προχωρημένα θέματα μη-γραμμικού προγραμματισμού και δυναμικών συστημάτων σε συνδυασμό με το κεφάλαιο το οποίο καλύπτει τη δυναμική βελτιστοποίηση μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε προχωρημένα προπτυχιακά ή μεταπτυχιακά μαθήματα. Τέλος, οι οικονομικές εφαρμογές μπορούν να χρησιμοποιηθούν υποστηρικτικά, με στόχο τη μαθηματική θεμελίωση οικονομικών αποτελεσμάτων σε μαθήματα οικονομικής θεωρίας.